چکیده:
ابوریحان بیرونی ریاضیدان برجستهء ایرانی نخستین ریاضیدان اسلامی است که ترسیم نه ضلعی منتظم را به حل یک معادله درجه سوم منجر کرده است.او این معادله را به روش تقریبات متوالی حل میکند و به تقریب خیلی خوبی میرسد.بیرونی روش خود را در حل این معادله درجه سوم تشریح نکرده است؛ولی چند قرن پس از بیرونی شرف الدین طوسی در کتاب المعادلات خود حل عددی معادلات درجهء سوم را بدست میدهد.
جمشید کاشانی ریاضیدان دیگر ایرانی چند قرن پس از طوسی تعیین زاویه یک درجه را به حل یک معادله درجهء سوم منجر میکند و حل عددی آنرا بدست میدهد.روش حل عددی معادلات در اروپا بویژه در قرن نوزدهم میلادی بوسیله ریاضیدانان اروپائی نیز مطرح میشود.در این مقاله کارهای ریاضیدانان پیش و پس از کاشانی درباره حل عددی معادلات مورد بررسی قرار میگیرد.
خلاصه ماشینی:
"ضلعی منتظم را به حل یک معادله درجه سوم منجر کرده است.
بیرونی روش خود را در حل این معادله درجه
معادله درجهء سوم منجر میکند و حل عددی آنرا بدست میدهد.
در واقع،با این روش ساده وارون سری توانی برحسب x را به صورت یک سری
میبینیم که این روش همان است که کاشانی1برای جل معادله تثلیث زاویه ?0 3
پیروی میکند،او این روش را با محدود کردن خود به یک رقم بیشتر در هر مرحله
کامل شده است را به کار میگیرد،به جز این واقعیت که او-بیجهت!-با محاسبه یک
رقم بیشتر در هر مرحله روش را پیچیده کرده و سپس دوباره معادله را انتقال میدهد.
و این یعنی اینکه از یک مقدار اختیار شدهء x بهطور عمودی به خط راست y-x ، میرویم و سپس بهطور افقی به سمت خم درجه سوم حرکت میکنیم.
از این قبیل روشهای تکراری میتوان برای حل معادلات درجه دوم-جهت
برای a-0 این روش کارساز نیست و روی یک مدار تناوبی دور میزنیم.
که به رأی العین نشان میدهد که برای ریشه میانی روش کاشانی جمله جمله و رقم
آنچه باقی میماند در نظر گرفتن همگرایی روش طوسی است که-مجددا تاکید
برای توابع اکیدا یکنوای f(x) ،که ایجاب میکند معادله تنها یک ریشه حقیقی داشته
نقاطی را مییابیم که روش طوسی-نیوتن روی این نقاط نوسان میکند،شکل عمومی
منحنی نشان میدهد که اگر مقادیر اولیه بزرگتر از بزرگترین ریشه معادله f'(x)-0 ،باشد
است که روی این نقاط نوسان شکل میگیرد.
قطعات تقسیم میکنند که برای آنها فرآیند،متناوبا یا کوچکترین ریشه همگرا میشود."