چکیده:
یکی از اصول مهمی که در اثبات برخی از قضایای اساسی منطق جدید و بسیاری از قضایای ریاضیات از آن بهره می گیرند اصل استقرای ریاضی است. پرسش این است که آیا این اصل بدیهی است؟ به ظاهر شهودهای عرفی، بداهت آن را تایید نمی کنند. لذا وضوح برهان قضایای مبتنی بر اصل فوق نیز کانون تردید است و توجیه برهان چنین قضایایی، مشروط به اذعان بر درستی اصل استقرای ریاضی خواهد بود. گمان می کنیم اصل فوق با تکیه بر مفاهیم و اصول اولیه مجموعه اعداد طبیعی اثبات پذیر است و بدین ترتیب با اثبات آن، دغدغه احتمالی تشکیک در استحکام منطقی اصل استقرای ریاضی و قضایای مبتنی بر آن در منطق جدید مرتفع خواهد شد.
خلاصه ماشینی:
"تعریف ساده و عمومی از استقرای ریاضی عبارت است از: اثبات اینکه یک جمله برای تمام اعداد طبیعی صادق باشد و شامل دو مرحله است: ـ مرحله اصلی نشان دادن اینکه جمله به ازای 1 = n صادق است؛ ـ مرحله استقرایی نشان دادن اینکه اگر جمله به ازای m = n صادق باشد، به ازای m+1 = n نیز صادق خواهد بود.
اگر مجموعه ای از اشیا در اختیار داشته باشیم و بتوانیم آن اشیا را متناظر با اعداد طبیعی مرتب کنیم، سپس بخواهیم برای همه این مجموعه شمارش پذیر صفت معینی مانند j را اثبات کنیم، به دو صورت زیر از روش استقرای ریاضی بهره می گیریم: 1.
استقرای ریاضی قوی: استقرای ریاضی قوی دارای سه مرحله بدین شرح است: الف) گام بنیادی: در این مرحله اثبات می کنیم که عنصر شماره صفر (حد صفر) دارای صفت j است (j0)؛ ب) گام استقرا: در این مرحله اثبات می کنیم که اگر همه اعداد طبیعی پیش از n+1صفت j را داشته باشند (فرض استقرای)، عدد n+1 نیز این صفت را خواهد داشت؛ یعنی jn+1 jn &...
حال روش اثبات را به وسیله این اصل بیان می کنیم: اگر (n)P حکمی درباره اعداد طبیعی باشد، به گونه ای که: الف) (1)P درست باشد (این مرحله را فرض ابتدای استقرا یا گام بنیادی استقرا می نامند)؛ ب) به ازای هر عدد طبیعی k، از درستی (k)P، درستی (k+1)P نتیجه شود."