چکیده:
قضیه اول مقاله دهم اصول اقلیدس، اساس «روش افنا» است. اقلیدس این قضیه را برای نسبت متغیر ثابت میکند. ابن هیثم (سده 4 هجری) بنا بر ادعای خود در فی حل شکوک، پی برده بود که حکمی که اقلیدس مطرح میکند جزئی است و حکم کلی را برای نسبت ثابت برای اولین بار در این کتاب مطرح و اثبات کرده است. خواجه نصیر الدین طوسی (597-672ق) در تحریر اصول اقلیدس، همان نظر ابن هیثم را تکرار میکند. ابن صلاح همدانی (درگذشته در 548ق) رسالهای در نقد نظر ابن هیثم با عنوان قول فی ایضاح غلط ابی علی بن الهیثم فی الشکل الاول دارد که در آن سه ایراد به ابن هیثم وارد میکند. محمد باقر یزدی (زنده در 1047ق) در رساله شرح المقالة العاشره در نقد نظر طوسی میگوید که با در نظر گرفتن حالت کلی که طوسی آورده است، برهان قضیه دوم مقاله دهم مختل میشود و قضیه را در دو حالت نسبت ثابت و متغیر، جداگانه بررسی میکند. در این مقاله سیر تاریخی پرداختن به این قضیه بررسی شده است.
خلاصه ماشینی:
صورت قضیۀ اول از مقالۀ دهم اصول اقلیدس چنین است : دو مقدار و با شرط مفروضند، اگر از مقداری بزرگ تر از نصف آن را کم کنیم و از باقͬمانده ، مقداری بزرگ تر از نصف باقͬمانده را کم کنیم و این عمل را مرتبا (رجوع شود به تصویر صفحه) اثبات : دو کمیت نامساوی A و ، با شرط داده شده است .
حال اگر از این مقدار، نسبت را با فرض کم کنیم و از باقͬمانده یعنͬ A A١ نسبتͬ بزرگ تر از نصف آن مثل p٢ کم کنیم و این q2 q1 روند را ادامه دهیم ، باید ثابت کنیم که جملۀ باقͬماندٔە آخر به سمت صفر میل مͬکند یعنͬ مقداری باقͬ مͬماند که از هر مقدار داده شده ای ، کوچͷتر است : (رجوع شود به تصویر صفحه) ابن هیثم ابن هیثم (شهرت در نیمۀ نخست سدٔە ۵ هجری) در کتاب حل شͅوک کتاب أقلیدس فͬ الأصول وشرح معانیه ، ادعا مͬکند که قبل از نوشتن حل شͅوک به این حقیقت پی برده بود که حͅمͬ که اقلیدس مطرح مͬکند جزئͬ است ، به این معنͬ که این قضیه نه تنها برای مقادیر بلͅه برای هر نسبت ثابت برقرار است (ابن هیثم ، ص ٣٣٢-٣٣۵).
Rashed (رجوع شود به تصویر صفحه) در اثبات این قضیه نیز، ابراهیم بن سنان قضیۀ اول مقالۀ دهم اصول را به همان شیوه ای که اقلیدس بیان کرده ، بͅار برده است (ابراهیم بن سنان ، ص ۵٩-۶٢).