چکیده:
واسطۀ هارمونیک، که از نسبت تألیفی یا همان نسبت هارمونیک به دست میآید، در کنار دو واسطۀ حسابی و هندسی، سه مقدار متوسط اصلی در ریاضیات قدیم را مشخص میکردند. در مقالۀ پیش رو قصد داریم تا جایگاه و تاریخچۀ این نسبت را در طول زمان مشخص کنیم. بنا بر این در بخش اول این نسبت و روابط منتج از آن معرفی میشوند. در بخش دوم تاریخچۀ مرتبط با این نسبت بیان میشود. در بخش سوم رسالات به جامانده از دورۀ علم اسلامی که به طور جداگانه به این نسبت مربوط میشوند معرفی میشوند. در بخش چهارم اطلاعات لازم در بارۀ کوبنانی و رسالۀ تألیفیه بیان شده است. در بخش پنجم متن تصحیح شدۀ رسالۀ تألیفیه اثر ابو اسحاق کوبنانی که مهمترین اثر در این زمینه است به همراه توضیحات ریاضی آن آمده است.
Harmonic mean، based on the concept of harmonic proportion، along with the arithmetic and geometric means are the three principal means discussed on ancient and medieval mathematics. This article intends to provide a survey of the concepts of harmonic mean and harmonic proportion in history of mathematics. In the first section the authors introduce the harmonic proportion and some relations obtained on its basis. In the second part a short history of this subjects is presented، while in the third part the monographs written in the Islamic period are introduced. In the two remaining sections، Abu Ishaq Kubanani’s treatise on harmonic proportion، entitles Risalat Talifiyyah، has been introduced accompanied by a critical edition and mathematical commentary.
خلاصه ماشینی:
در رساله اي که در بارٔە اين نسبت در کتابخانۀ مرکزي دانشگاه تهران موجود است (رسالۀ شمارٔە ۵) توضيح داده شده است که علماي فن موسيقي دو نسبت را در اصطلاحات خود دارند، يکي نسبت «مشمئزه » و يکي «ملتذه » که دومي را شارع مقدس منع کرده است مثلا در دو تار تأليف نسبت ملتذه به اين صورت است که اولي پنج نخ و دومي نه نخ دارد، نواختن اين دو به شرط دانستن عدد سوم است که التذاذ دارد.
با اين حال بايد در نظر داشت که براي مثال در اين رساله نيز تقسيم بندياي مشابه تقسيم بندي بوئتيوس آمده است ، مثل ديگر کتاب هاي موسيقي نسبت نه هشتم هم به عنوان طنيني معرفي شده است و نسبت چهار سوم هم که واسطه تأليفي بين يک و دو است به عنوان ذي الاربع در موسيقي دورٔە اسلامي نقش محوري دارد اما به واسطه تأليفي بودن آن اشاره اي نميشود (صفي الدين ارموي، ص ٢١‐٢۵).
در دورٔە اسلامي به جز مواردي که از خيام و ابن سينا نقل شد که اولي به تمايز آن با تأليف نسبت اشاره داشت و دومي به کارکرد آن در موسيقي، تا قرن نهم اشارٔە ديگري به اين نسبت نشده است ، اما در ابتداي اين قرن يک معما که به شکل دوبيتي در کتاب حلل مطرز شرف الدين علي يزدي (نک : دنبالۀ مقاله ) آمده است باعث شد که اين تناسب دوباره مورد توجه قرار بگيرد.