چکیده:
احتمال ورشکستگی, یک معیار ایمنی و همواره در مدیریت ریسک شرکتهای بیمه
مطرح است. مثال ملموسی از کاربرد احتمال ورشکستگی, سیاستگذاری شرکتهای
بیمه برای انتخاب میزان نگهداری درانیمههای اتکایی است. طبق این معیارحد
نگهداری مناسب در یک بیمه اتکایی مفروض) حدی است که احتمال ورشکستگی را
حداقل سازد. ولی از آنجا که محاسبة احتمال ورشکستگی بسیار پیچیده و مشکل و از
نظر محاسیاتی حتی به کمک کامپیوتر زمّانبراست, لذا همواره به دنبال روشی هستیم
که این محاسبات را سادهتر کند.
در ادامد مقاله با یک مئال عددی احتمال ورشکستگی را در حالتی خاص از سه
روش دقیق, فرمول بازگشتی و تقریب فرایند گامای انتقال یافته محاسبه و سپس نتایج
حاصل را مقایسه میکنیم و نشان میدهیم که احتمال ورشکستگی تا چه میزان خوب
تقریب شده است. همچنین کران بالای لوندیرگ برای احتمال ورشکستگی را بهدست
می آوریم. روشهای ارائه شده در این مقاله بسته به نوع فعالیت یک شرکت و با تعبیر
مناسب از دریافتی و پرداختی آن» قابل تعمیم به هر شرکت مالی - اعتباری است. در
اینجا وضعیت مالی یک شرکت بیمه بررسی شده است که داده و ستانده آن به ترتیب
هبارت از خسارت و حق بیمه است. در این مقاله نشان میدهیم که چگونه یک فرایند
پواسون مرکب را میتوان به وسیلة یک فرایند گاما و فرایندی تحت عنوان فرایند گامای
انتقال یافته تقریب کرد. هم چنین نشان میدهیم که چگونه احتمالات ورشکستگی برای
این مقاله با عنوان ی فرایندهای گاما و احتمالات ورشکستگی» دز نخستین سبینار آگچوثری در شهربور
۸ در دانشگاه شهرد بهشتی ارائه شد.
یک فرایند پواسون مرکب را میتوان به وسیلة احتمالات ورشکستگی برای یک فرایند
گاما یا یک فرایتد گامای انتقال یافته تقریب کرد.
در کتابهای آکچوثری» فرایند گاما به صورت حدی از فرایتدهای پواسون مرکب
تعریف شده و آن را مدلی برای فرایند خسارت انباشته در نظر گرفتهاتد. در بخش اول
این موضوع همراه با چگونگی محاسبه احتمال ورشکستگی نهایی برای چنین فرایندی
بررسی شده است. در بخش دوم چگونگی تقریب یک فرایند پواسون مرکب بهوسیلة
یک فرایند گاما را تشان میدهیم. مزیت تقریب یک فرایند پواسون مرکب با این روش»
چنان که در بخش اول نشان میدهیم آین است که احتمال ورشکستگی برای فرایند گاما
به ویژه از جهت محاسبه ساده است. در بخش سوم فرایندی به نام فرایند گامای انتقال
یافته را معرفی میکنیم و بررسی مشابهی با بخش دوم انجام میدهیم. فرمولهای مورد
استقاده در پیوست مقاله آمده است.
خلاصه ماشینی:
"فرمول بازگشتی برای محاسبهء احتمال ورشکستگی نهایی یک مدل پواسون مرکب با مشخصات زیر را در نظم میگیریم: -مبالغ خسارت انفرادی روی اعداد صحیح نامنفی با میانگین(به تصویر صفحه مراجعه شود)توزیع شدهاند که(به تصویر صفحه مراجعه شود)بزرگتر از یک است.
همچنین فرض کنیم که (به تصویر صفحه مراجعه شود) احتمال بقا یعنی عدم ورشکستگی تا زمان(به تصویر صفحه مراجعه شود)برای این فرایند با دارایی اولیهء مفروض (به تصویر صفحه مراجعه شود)را با(به تصویر صفحه مراجعه شود)نشان میدهیم و داریم: (به ازای تمام(به تصویر صفحه مراجعه شود)هایی که(به تصویر صفحه مراجعه شود) احتمالات ورشکستگی نهایی برای این فرایند گامای استاندارد شده وقتی عامل سرباز حق بیمه برابر(به تصویر صفحه مراجعه شود)است طبق رابطهء(15)محاسبه میشود.
از طرفی چون سه گشتاور اول تقریب فرایند گامای انتقال یافته را به ازای تمام مقادیر t ،با مقادیر متناظر پواسون مرکب مساوی قرار دادهایم انتظار داریم که(به تصویر صفحه مراجعه شود) تقریب مستدلی برای(به تصویر صفحه مراجعه شود)باشد.
میتوان نشان داد که احتمال ورشکستگی برای توزیعنمایی از رابطهء زیر حاصل میشود: (10)(به تصویر صفحه مراجعه شود) بنابراین به کمک رابطهء فوق مقادیر دقیق احتمال ورشکستگی در این حالت به ازای مقادیر مختلف ذخیرهء اولیه،(به تصویر صفحه مراجعه شود)،به دست میآید.
طبق شکل 2 منحنی حاصل از سه روش محاسبهء احتمال ورشکستگی و کران بالای لوندبرگ بهویژه به ازای مقادیر بزرگ ذخیرهء اولیهء شرکت تقریبا بر هم منطبق است که این امر نشان از خوبی روشهای تقریبی و بازگشتی دارد."