چکیده:
در یک دنباله از متغیرهای تصادفی جفت شده، زمانی که فقط بررسی دنباله ای از آماره های یکی از دو مؤلفه مد نظر باشد، مؤلفه ی دوم متناظر با هر آماره تحت عنوان متغیر همراه (concomitant) آن آماره مورد بررسی قرار می گیرد. از جمله ی این آماره ها می توان آماره های ترتیبی، رکوردها، سانسورها و غیره را نام برد. در این مقاله هدف بررسی خواص دنباله ی متغیرهای همراه رکوردها است. در یک دنباله از متغیرهای تصادفی، رکوردها مقادیری هستند که از مشاهدات قبلی بزرگ تر و یا کوچک تر هستند. بسیاری از پدیده های طبیعی، داده های مربوط به مسابقات ورزشی و یا آزمایه های بالینی در قالب این چنین الگوهای احتمال، قابل بررسی هستند. بدین منظور برای دنباله ای از جفت مشاهدات مستقل و هم توزیع با متغیرهای تصادفی (X، Y) خواص گشتاورهای متغیرهای تصادفی Y متناظر با رکوردهای متغیر تصادفی X در حالت کلی و تحت مدل فارلی ـ گامبل ـ مورگنشترن (Farlie-Gumbel-Morgenstern) مورد بررسی قرار گرفته است. در ادامه کران های ناپارامتری میانگین تحت مدل بالا و به شیوه های متفاوت به دست آمده و با هم مقایسه شده اند.
خلاصه ماشینی:
"بدین منظور برای دنبالهای از جفت مشاهدات مستقل و همتوزیع با متغیرهای تصادفی )Y,X( خواص گشتاورهای متغیرهای تصادفی Y متناظر با رکوردهای متغیر تصادفی X در حالی کلی و تحت مدل فارلی-گامبل-مورگنشترن )nretsnegroM-lebmuG-eilraF( مورد بررسی قرار گرفته است.
قضیهی 1 تحت مدل MGF تابع چگالی احتمال متغیر همراه n ام بهصورت زیر است: (به تصویر صفحه مراجعه شود)(7) برهان.
با استفاده از(5)و تحت مدل MGF داده شده در تابع چگالی متغیر همراه رکورد n ام بالا برابر است با: (به تصویر صفحه مراجعه شود) با تغییر متغیر(به تصویر صفحه مراجعه شود)مقدار انتگرال بالا برابر است با: (به تصویر صفحه مراجعه شود) که با محاسبههای جبری لازم برهان کامل میشود.
قضیهی 2 تحت مدل MGF ،گشتاور k ام متغیر همراه n ام را میتوان بهصورت زیر نوشت: (به تصویر صفحه مراجعه شود) که در آن(به تصویر صفحه مراجعه شود)گشتاور k ام توزیع Y و(به تصویر صفحه مراجعه شود)گشتاور k ام بزرگترین آمارهی مرتب در یک نمونهی دوتایی از این توزیع است.
همچنین با حدگیری از(7)و اجرای مراحل برهان قضیهی 4،میتوان این کران را برای توزیع حدی زیر به دست آورد: (به تصویر صفحه مراجعه شود) تذکر 2 با استفاده از نتایج مشابه برای(به تصویر صفحه مراجعه شود)میتوان به طور غیرمستقیم،قضیهی 4 و نتیجهی 4 را به دست آورد."