چکیده:
گسترش روشهای استدلال ریاضی، در دهههای اخیر، منجر به نقد اساسی تعریف کلاسیک اثبات ریاضیاتی شده است. منتقدان، معمولا، تعریفهای بدیلی پیشنهاد کردهاند؛ تعریفهای فراوانی که دارای پیشفرضها و پیامدهای گوناگون و گاهی حتی ناسازگاری هستند. این وضعیت، ریاضیات را در معرض نسبینگری قرار داده است. از این رو، مسئلۀ فراوانی تعریفهای اساسا گوناگون را میتوان یکی از مهمترین مسائل معرفتشناسی ریاضیاتی دانست. این مقاله، تلاش میکند تا از یک موضع مرتبۀ سوم یا فراروششناختی به «چیستی فرامعیار انتخاب بهترین تعریف برای اثبات ریاضیاتی» پاسخ دهد و از این طریق، ما را یک گام به تعریف موجه اثبات ریاضیاتی نزدیکتر سازد. نگارندگان نشان خواهند داد که فرامعیار قدرت تبیینی، در مقایسه با دو رقیب دیگر، یعنی فرامعیارهای همارزی، و اجماع قابل دفاعتر است.
خلاصه ماشینی:
چالش ها و تردیدها دربارة اثبات بودن این موارد به این پرسش اساسی منجر شده اسـت که اساسا اثبات ریاضیاتی چیست ؟ یا چه باید باشد؟ بر اساس پاسخ هیلبرت (١٩٣٠)، یـک اثبات ریاضیاتی عبارت است از دنباله ای از فرمول های درست ـ ساخت که هر کدام از آن ها یک اصل موضوع و یا حاصل به کارگیری قواعد استنتاج بر روی فرمـول هـای قبلـی اسـت (٢٣٧٧ :٢٠٠٥ ,Bundy).
اثبات ریاضیاتی عبارت است از: ـ دنباله ای از جملات که فرآیندهای روان شناختی را چنان تدوین می کنند که منجـر بـه تولید معرفت پیشینی دربارة قضیة اثبات شده می شوند (٣٧ :١٩٨٩ ,Kitcher)؛ ـ استنتاج گزارة P از Ʃ با بهره گیری از اصول منطق صوری ، به گونـه ای کـه هـر تعبیـر معینی از مفاهیم اولیه که Ʃ را به گزاره ای صادق تبدیل کند، P را هم صادق کند (P گزاره ای در نظریة T، و Ʃ ترکیب عطفی اصول موضوعة T اسـت ) (صـورت بنـدی تعریـف همپـل ؛ همپل ، ١٣٨٧: ٢٠٧)؛ ـ دنباله ای از اعمال شهودی که منجر به یک تجربة درونی معین شود (فان آتـن ، ١٣٨٧: ٥٣ و ٥٩)؛ ـ استدلالی که مخاطب را دربارة یک ادعای ریاضیاتی اقناع کند (٢٣٧٧ :٢٠٠٥ ,Bundy).
بـا ایـن حساب ، در مناقشه های نظری ، مانند مناقشة اثبات ریاضیاتی ، باید درواقـع بـه ایـن پرسـش پاسخ دهیم که کدام نظریه را باید ترجیح داد؟ بر اسـاس تعریـف بـالا، یـک نظریـة اثبـات ریاضیاتی مجموعه ای از گزاره های مرتبط است که ، اولا، امکان یـک تعریـف نظـری بـرای مفهوم اثبات ریاضیاتی را فراهم می کنند؛ و، ثانیا، «واقعیت های اثبـات » (the proof facts) را، بر اساس آن تعریف ، تبیین می کند.