چکیده:
منطق مرتبه اول کلاسیک رایجترین منطق در کاربردهای ریاضیات و همچنین در مطالعه بنیادهای منطقی میباشد. از دیر باز تنها ارتباط بین منطق و توپولوژی ریاضی محدود به مفهوم فضاهای تایپ بوده و پیوندهای دیگری بین این دو حوزه متصور نبوده است. اخیرا پیوندهای اساسی بین این دو شاخه (یعنی منطق و توپولوژی) ایجاد شده است که کاربردهای زیادی در هر دو حوزه منطق و همچنین در توپولوژی را موجب شدهاند. در این مقاله به مطالعه برخی از مهمترین پیوندهای این دو شاخه از ریاضیات و همچنین کاربردهای آنها خواهیم پرداخت. یکی از مفاهیم کلیدی در منطق ریاضی و نظریه مدلها مفهوم پایداری میباشد که بیانی کاملا ترکیبیاتی دارد. در این مقاله نشان میدهیم که این مفهوم معادل یک مفهوم توپولوژیک برای مجموعه مشخصی از توابع میباشد و با استفاده از آن قضیهای بنیادین در نظریه پایداری شلاح را ثابت میکنیم. همچنین ارتباط بین مفهوم وابستگی و یک خاصیت توپولوژیک از مجموعهای از توابع را بیان میکنیم و اثباتی توپولوژیک از برخی از دستاوردهای مهم نظریه مدلها را ارائه خواهیم داد. برخی از نتایج ارائه شده در این مقاله در هر دو حوزه منطق و توپولوژی کاملا جدید هستند و احتمال کاربردهای بیشتر از آنها در مطالعات آتی متصور میباشد.
Classical first-order logic is the most common logic in mathematics applications as well as in the study of logical foundations. From a long time ago, the only link between logic and mathematical topology was limited to the concept of type spaces, and there were no other links between these two domains. Recently, the basic links between these two branches (i.e. logic and topology) have been created, which have led to many applications in both areas of logic as well as in topology. In this article, we will study some of the most important links between these two branches of mathematics as well as their applications. One of the key concepts in mathematical logic and model theory is the concept of stability, which has a completely combinational statement. In this paper, we show that this concept is equivalent to a topological concept for a certain set of functions, and using this we prove a fundamental theorem of Shelah stability theory. We also describe the relationship between the concept of dependence and a topological property of a set of functions, and provide topological proofs of some of the important achievements of model theory. Some of the results of this paper are new.
خلاصه ماشینی:
در این مقاله نشان میدهیم که این مفهوم معادل یکی از مفهومهای توپولوژیک برای مجموعۀ مشخصی از توابع است و با استفاده از آن قضیهای بنیادین در نظریۀ پایداری شلاح را ثابت میکنیم.
همچنین ارتباط بین مفهوم وابستگی و یک خاصیت توپولوژیک از مجموعهای از توابع را بیان میکنیم و اثباتی توپولوژیک از برخی از دستاوردهای مهم نظریۀ مدلها را ارائه خواهیم داد.
2. فضای تایپها در این بخش برخی از مفاهیم اولیۀ منطق و نظریۀ مدلهای کلاسیک را بیان میکنیم و این مفاهیم را در زبان توپولوژیکی که مناسب با اهداف این مقاله است ارائه خواهیم داد.
ازآنجاکه بحث این مقاله منطق مرتبۀ اول کلاسیک است، فرض بر این است که خواننده با مقدمات منطق ازقبیل زبان، فرمول، و مدل آشنایی دارد (برای اطلاعات بیشتر به کتابهای مقدماتی منطق ریاضی یا نظریۀ مدلها مراجعه کنید).
فشردگی این فضا معادل است با قضیۀ فشردگی در منطق مرتبۀ اول کلاسیک و دوارزشیبودن منطق کلاسیک (یعنی 0−1) منجر میشود به اینکه این فضا تماماً ناهمبند باشد (برای تعریف مفاهیم «فشردگی» و «تماماً ناهمبند» به کتابهای توپولوژی عمومی مراجعه کنید).
گزارۀ 4 (پیلی): یک تابع : ∗ →{0,1} در بستار توپولوژیک مجموعۀ (با توپولوژی همگرایی نقطهای) قرار دارد، اگر و فقط اگر یک تایپ () در ∗ که متناهیاً ارضاشده در است موجود باشد که =(,) برای هر ∈ ∗ .
گزارۀ 7 (محک بورگین ـ فرملین ـ تالاگراند): فرض کنید یک فضای توپولوژیک هاسدورف و فشرده باشد و زیرمجموعهای از توابع پیوسته و کراندار روی باشد، آنگاه شرایط زیر معادلاند: 1.