چکیده:
«منطق به صورت نامحدود ... صوری نیست. اگر چنین بود، بدون محتوا میبود ... هیچ علمی کاملا صوری نیست» (Frege, 1971:109). در ۱۸۹۹، دیوید هیلبرت نظام اصل موضوعی منقحی برای هندسة اقلیدسی عرضه کرد و با اثبات مشروط فراقضیههای سازگاری و استقلال برای این نظام، راهحلی برای یکی از مسائل دیرپای ریاضیات (مشهور به مسئلة خطوط موازی) ارائه داد. گوتلوب فرگه، پایهگذار منطق صوری جدید، مخالفتهای بنیادینی با رویکرد فرمالیستی هیلبرت و برهانهای او برای فراقضیههای سازگاری و استقلال ابراز داشت. بررسی دلایل این مخالفت نشان میدهد که دیدگاه فرگه نسبت به صوری بودن منطق و قضیههای فرانظریهای بهکلی متفاوت از دیدگاه پذیرفتهشدة امروزی است. در این مقاله پس از شرح مختصر روش اثبات هیلبرت برای فراقضیههای سازگاری و استقلال و همینطور انتقادهای اصلی فرگه به آن، به روش پیشنهادی خود فرگه برای پرداختن به این مسائل اشاره خواهم کرد و سپس به این بحث خواهم پرداخت که چرا در نهایت ریاضیدانان و منطقدانان، به پیروی از هیلبرت، به نکتهسنجیهای فرگه وقعی ننهادند و منطق جدید با معرفی نظریة مدل گام در راهی نهاد که از نگاه فرگه به هیچ وجه قابل قبول نبود. در پایان نتیجهای که از این بررسی میگیرم این است که در واقع، فرگه و هیلبرت، هر یک بر اساس اندیشهها و علایق خود، برداشتهای متفاوتی از مفاهیمی مانند سازگاری و استقلال در دستگاههای اصل موضوعی داشتهاند، جایی که فرگه به دنبال «سازگاری اندیشهای» است هیلبرت صرفا «سازگاری نحوی» را اثبات میکند. برداشت سختگیرانة فرگه از مفهوم سازگاری و استقلال دامنة پژوهشهای بعدی را بهشدت محدود میساخت، حال آنکه برداشت هیلبرتی امکانات وسیع و جذابی برای انجام بحثهای فرانظریهای فراهم میآورد.
خلاصه ماشینی:
در ایـن مقالـه پـس از شـرح مختصـر روش اثبـات هیلبـرت بـرای فراقضیه های سازگاری و استقلال و همین طـور انتقادهـای اصـلی فرگـه بـه آن ، بـه روش پیش نهادی خود فرگه برای پرداختن بـه ایـن مسـائل اشـاره خـواهم کـرد و سپس به این بحث خواهم پرداخت که چرا در نهایت ریاضی دانان و منطق دانان ، بـه پیروی از هیلبرت ، به نکته سنجی های فرگه وقعی ننهادند و منطق جدیـد بـا معرفـی نظریة مدل گام در راهی نهاد که از نگاه فرگه به هیچ وجه قابل قبول نبود.
هیلبرت خود در مقدمة این اثـر هـدف از نگاشـتن آن را چنـین بیان می کند: بررسی حاضر، تلاشی است نو در انتخاب مجموعـه ای سـاده و کامـل و مسـتقل از اصـول موضوع برای هندسه و استنتاج مهم ترین قضایا به شکلی که با بـیش تـرین وضـوح ممکـن ، اهمیت گروه های مختلف اصول موضوع و دامنـة نتـایج گرفتـه شـده از هـر یـک از اصـول ۱ مشخص شود (١ :١٩٠٢ ,Hilbert).
هیلبرت در مورد مسئلة سازگاری و معرفی روش خود برای اثبات آن مـدعی اسـت کـه اصول موضوعی که پیش نهاد کرده است با هم سازگارند یعنی : با هیچ فرایند منطقی استدلال نمی توان از این اصول موضوع گـزاره ای اسـتنتاج کـرد کـه بـا یکی از اصول دیگر در تناقض باشد.
البته انتقادهای فرگه به نوع تعاریف در دستگاه هیلبرتی بـه ایـن معنـی نیسـت کـه همـة واژه ها باید تعریف شوند و در پاسخ به کرزلت که برآوردن این خواسته را نـاممکن شـمرده بود تأکید می کند که به دنبال چنین چیزی نیست : «نمی توان انتظار داشت همـه چیـز تعریـف شود» (٢٣ :ibid).